ピタゴラス数とタクシー数のパズル

ピタゴラス数とは、三平方の定理（a^2+b^2=c^2）を成り立たせる自然数の組である。
最小の組は（a,b,c）=(3,4,5)である。式に書くと、以下のとおり。

3^2+4^2=5^2

この数理を図形パズルにしてみよう。たとえば、以下のような問題がつくれる。




【問題】
『１辺が５である正方形を複数のピースに分割、重ねずに並べ替えて１辺がそれぞれ３と４である２つの正方形をつくれ。なるべくピース数が少なくなる分割方法を考えてほしい。』

この問題は、最少４ピースで達成可能である。下図はその一例である。

実は、全て長方形（正方形含む）のピースに分割するという条件をつけても、最少４ピースで達成可能である。その分割方法を探してみてほしい。

もう少し難しい問題にしてみよう。

【問題】
『１辺が１３の正方形を複数のピースに分割、重ねずに並べ替えて１辺がそれぞれ１２と５である２つの正方形をつくれ。なるべくピース数が少なくなる分割方法を考えてほしい。』

ピースの形を問わなければ、最少４ピースで達成可能である。

そして、全て長方形（正方形含む）のピースに分割するという条件をつけた場合は、５ピースの分割で達成可能である。その分割方法は、小田原氏と植松氏とのやりとりで、少なくとも２通りのピース構成があることが判明した。

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ところで、上記２問は、「１つの正方形から２つの正方形をつくるパズル」であったが、
「２つの異なる平方数の和として、２通り以上で表される自然数」（一般化タクシー数の１つ）を使えば、「２つの正方形から元と異なる２つの正方形をつくるパズル」というのもつくれる。
合計の単位数が最も少ないものと、次に少ないものを問題として用意した。

【問題】
『１辺がそれぞれ１と８である２つの正方形を複数のピースに分割、重ねずに並び替えて１辺がそれぞれ４と７である２つの正方形をつくれ。なるべくピース数が少ない分割方法を考えてほしい。』

ピースの形を問わなければ、最少５ピース。全て長方形（正方形含む）に分割する場合も、最少５ピースで達成可能である。

【問題】
『１辺がそれぞれ２と９である２つの正方形を複数のピースに分割、重ねずに並び替えて１辺がそれぞれ６と７である２つの正方形をつくれ。なるべくピース数が少ない分割方法を考えてほしい。』

ピースの形を問わなければ、最少５ピース。全て長方形（正方形含む）に分割する場合は、最少６ピースで達成可能である。（少なくとも２通りのピース構成）

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今回の問題はピース数が少ないため、ピースの形を示した敷き詰めパズルとして出題するには少々簡単すぎる。なので今回は、分割方法を考える裁ち合わせパズルとして出題した。紙（方眼ノートがベスト）と鉛筆を用意して、挑戦してほしい。