折ってポリオミノ（Polyominoes by folding Polyomino)

【問題】
ポリオミノ（単位正方形を辺同士でくっつけた形）を紙のように折って、別のポリオミノをつくる。

・折り方と折り数に制限はなく、紙の裏表に区別はない。
・つくるポリオミノの縮尺を小さくしてはいけない。
・元のポリオミノの２×２以上の塊の部分は切り離せない、ことにしている。

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2014年の3月にこの問題と後述する課題を思いつき、その後、facebook上でMINE氏とのやり取りをしながら検討を進めた。今回紹介する検討結果はMINE氏の検討結果に追いつけ、追い越せするなかで生まれたもので、この結果は一人で検討していたらきっとなしえなかったと思う。

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【課題１】
テトロ（４）ミノ全５種類を折りだせるポリオミノの最小単位はいくつか。

↓

ペント（５）ミノ以下からでは折りだせず、ヘキソ（６）ミノが最少という結果になった。
ペントミノ全１２種類の中でおしいものとして、FペントミノとLペントミノ、Nペントミノがある。それぞれテトロミノ４種類までは折りだせる。
ヘキソミノ全３５種類の中で、テトロミノ全種を折りだせる形は少なくとも２１種類ある。少なくともと書いたが、この結果が更新されることはおそらくない。


【課題２】
ペント（５）ミノ全１２種類を折りだせるポリオミノの最小単位はいくつか。

↓

ヘプト（７）ミノ以下からは折りだせず、オクト（８）ミノが最少という結果になった。
ヘプトミノ全１０８種類の中でおしいものとして、Xペントミノ以外の１１種類が折りだせる形と、
次点としてそれぞれで異なるペントミノ１０種類が折りだせる形もあげておく。

オクトミノ全３６９種類の中で、ペントミノ全種を折りだせる形はいくつか見つけているが全部でいくつあるかはわかっていない。現在の検討方法は、それぞれの形を紙に書いて総当たりで解いており、とても全貌を暴けそうにないので、うまい探し方を見つけた方はご一報ください。