三角形の裁ち合わせ色々続

前回とりあげた、直角二等辺三角形⇔半正三角形の裁ち合わせのアプローチの一例を示す。

アプローチとしては、

①それぞれの三角形を長方形に変形する。
②一般に知られている長方形から長方形（正方形）への裁ち合わせを適応させる。

そうすれば直角二等辺三角形と半正三角形への裁ち合わせができる。

三角形の裁ち合わせ色々

n-up triangle　の記事で、２つの正三角形を同じように分割して並び替えて、１つの正三角形にする裁ち合わせ問題を取り上げた。

9種類のペントミノで…

【問題】
9種類のペントミノを使って12種類全てのペントミノを表現してください。

「表現」という表現が明確ではないが、そこも含めて考えるパズル。

自分が考えた解答例は…

折ってポリオミノ（Polyominoes by folding Polyomino)

【問題】
ポリオミノ（単位正方形を辺同士でくっつけた形）を紙のように折って、別のポリオミノをつくる。

・折り方と折り数に制限はなく、紙の裏表に区別はない。
・つくるポリオミノの縮尺を小さくしてはいけない。
・元のポリオミノの２×２以上の塊の部分は切り離せない、ことにしている。

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2014年の3月にこの問題と後述する課題を思いつき、その後、facebook上でMINE氏とのやり取りをしながら検討を進めた。今回紹介する検討結果はMINE氏の検討結果に追いつけ、追い越せするなかで生まれたもので、この結果は一人で検討していたらきっとなしえなかったと思う。

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n-up triangle

ｎ個の合同正三角形を分割して並べてひとつの正三角形に。。。

ｎ＝４のときは分割せずに並べるだけで達成できる。（４ピース）
ｎ＝３のときもそれぞれの正三角形を同じように２分割するだけで達成できる（６ピース）

ｎ＝２のときはどうなるか。
最少のピース数を目指すのであれば、１つの正三角形のみを４分割し、
合計５ピースを並べることでひとつの正三角形に変えることができる。
実際の分割方法は次のリンクからどうぞ。

Dissection of two polygons to one（Gavin Theobald）

http://home.btconnect.com/GavinTheobald/HTML/Double.html

リンク先の分割方法は五角形を含むが、
MINE氏によってすべてのピースが四角形以下の分割も見つかっている。

さて、２つの正三角形を同じように分割することにしたら最少何ピースで達成できるか。

検討した結果、それぞれ4分割、計８ピースで達成できた。

この問題を考えるきっかけになったのは、

３つの合同正方形を同じように３分割して並べてひとつの正方形にするパズルである。

葉樹林日記の2005年8月10日で紹介されており、出題者は芦ヶ原伸之 氏と思われる。

同形ポリオミノ奇数個で線対称形・点対称形

今回は手でとくパズルというより、頭でとくパズルである。

ポリオミノ系パズルに先行者がいるということはよくあること。
ということで今回はリンク先のメモ。。。

問題１
すべて合同な非線対称形のポリオミノ奇数個を組み合わせて線対称形をつくる。
ピースの最少数、ポリオミノの単位数の最小はいくつか。

→L型テトロミノ３個で線対称形が可能である。

問題２
すべて合同な非点対称形のポリオミノ奇数個を組み合わせて点対称形をつくる。
ピースの最少数、ポリオミノの単位数の最小はいくつか。

→L型トロミノ５個で点対称形が可能である。
そして３個ではおそらく不可能である。

参考リンクを見ると、Odditiesというタイトルですさまじい量の検討がなされている。
手でとくパズルにするなら、３個のものがやさしいだろう。

■参考リンク

Col. Sicherman's Home Page
http://www.recmath.org/PolyCur/oddities.html

Double Symmetry

課題１　指定された３ピースで模様も含めた線対称形をつくる
課題２　全４ピースで模様も含めた線対称形をつくる

写真では形は線対称だが、模様が線対称になっていないため、失敗例である。

線対称形をつくるというパズルは
「symmetrix」(Tadao Kitazawa,2003)以降、多くのパズルが生まれてきている。
模様による制限があるものでは佐藤学氏　原案の「checkered symmetry」がある。
その課題は「市松模様のポリオミノピース数個で線対称形をつくる」というもの。
本パズルはポリオミノピース数個を使っているが、模様のつけ方に規則性はなく、完成形が市松模様やストライプといったものになる保証もない。
本来は別の課題を想定したピース構成だったので、設計をし直せばもっといい解やピース構成のものをつくれる可能性は多分にあると思う。

3月13日追記

模様をつける意義を考察した。

この課題は「形」に加えて「模様」の条件があることがポイントがあるため、
「模様」を無視した「形」のみにおいては、線対称形になる解候補が
なるべく多くでるようなピース構成にする必要がある。
そして、その上で面白い形をした意図解に誘導できるようにうまく模様をつける必要がある。
模様を自由につけていいのならば、意図解以外の形（別解）を排除するのは比較的簡単である。
しかし、できれば模様にも一定の規則性を持たせたいところである。