折ってポリオミノ（Polyominoes by folding Polyomino)

【問題】
ポリオミノ（単位正方形を辺同士でくっつけた形）を紙のように折って、別のポリオミノをつくる。

・折り方と折り数に制限はなく、紙の裏表に区別はない。
・つくるポリオミノの縮尺を小さくしてはいけない。
・元のポリオミノの２×２以上の塊の部分は切り離せない、ことにしている。

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2014年の3月にこの問題と後述する課題を思いつき、その後、facebook上でMINE氏とのやり取りをしながら検討を進めた。今回紹介する検討結果はMINE氏の検討結果に追いつけ、追い越せするなかで生まれたもので、この結果は一人で検討していたらきっとなしえなかったと思う。

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n-up triangle

ｎ個の合同正三角形を分割して並べてひとつの正三角形に。。。

ｎ＝４のときは分割せずに並べるだけで達成できる。（４ピース）
ｎ＝３のときもそれぞれの正三角形を同じように２分割するだけで達成できる（６ピース）

ｎ＝２のときはどうなるか。
最少のピース数を目指すのであれば、１つの正三角形のみを４分割し、
合計５ピースを並べることでひとつの正三角形に変えることができる。
実際の分割方法は次のリンクからどうぞ。

Dissection of two polygons to one（Gavin Theobald）

http://home.btconnect.com/GavinTheobald/HTML/Double.html

リンク先の分割方法は五角形を含むが、
MINE氏によってすべてのピースが四角形以下の分割も見つかっている。

さて、２つの正三角形を同じように分割することにしたら最少何ピースで達成できるか。

検討した結果、それぞれ4分割、計８ピースで達成できた。

この問題を考えるきっかけになったのは、

３つの合同正方形を同じように３分割して並べてひとつの正方形にするパズルである。

葉樹林日記の2005年8月10日で紹介されており、出題者は芦ヶ原伸之 氏と思われる。

同形ポリオミノ奇数個で線対称形・点対称形

今回は手でとくパズルというより、頭でとくパズルである。

ポリオミノ系パズルに先行者がいるということはよくあること。
ということで今回はリンク先のメモ。。。

問題１
すべて合同な非線対称形のポリオミノ奇数個を組み合わせて線対称形をつくる。
ピースの最少数、ポリオミノの単位数の最小はいくつか。

→L型テトロミノ３個で線対称形が可能である。

問題２
すべて合同な非点対称形のポリオミノ奇数個を組み合わせて点対称形をつくる。
ピースの最少数、ポリオミノの単位数の最小はいくつか。

→L型トロミノ５個で点対称形が可能である。
そして３個ではおそらく不可能である。

参考リンクを見ると、Odditiesというタイトルですさまじい量の検討がなされている。
手でとくパズルにするなら、３個のものがやさしいだろう。

■参考リンク

Col. Sicherman's Home Page
http://www.recmath.org/PolyCur/oddities.html

Double Symmetry

課題１　指定された３ピースで模様も含めた線対称形をつくる
課題２　全４ピースで模様も含めた線対称形をつくる

写真では形は線対称だが、模様が線対称になっていないため、失敗例である。

線対称形をつくるというパズルは
「symmetrix」(Tadao Kitazawa,2003)以降、多くのパズルが生まれてきている。
模様による制限があるものでは佐藤学氏　原案の「checkered symmetry」がある。
その課題は「市松模様のポリオミノピース数個で線対称形をつくる」というもの。
本パズルはポリオミノピース数個を使っているが、模様のつけ方に規則性はなく、完成形が市松模様やストライプといったものになる保証もない。
本来は別の課題を想定したピース構成だったので、設計をし直せばもっといい解やピース構成のものをつくれる可能性は多分にあると思う。

3月13日追記

模様をつける意義を考察した。

この課題は「形」に加えて「模様」の条件があることがポイントがあるため、
「模様」を無視した「形」のみにおいては、線対称形になる解候補が
なるべく多くでるようなピース構成にする必要がある。
そして、その上で面白い形をした意図解に誘導できるようにうまく模様をつける必要がある。
模様を自由につけていいのならば、意図解以外の形（別解）を排除するのは比較的簡単である。
しかし、できれば模様にも一定の規則性を持たせたいところである。

星包（ほしつつみ）小問（Cover a tetrahedron with nets of octahedron）

星包から思いついた小問。。。
課題；1辺1の正八面体の展開図11種類から2種類を選んで1辺2の正四面体の表面を覆う。

11種類から2種類を選ぶ組み合わせは55通りあるが、その中で表面を覆える組み合わせはおそらく2通り。2つの解は同時にはできない。つまり、両方の解に使われる展開図がある。
正八面体2つが正四面体1つになるという体積上はありえない変化を見せるのが少し楽しい。

筒包み（つつつつみ）

課題a.円周４、高さ５の円筒を、テトロミノ全種（５種類）で覆う
課題b.円周５、高さ４の円筒を、テトロミノ全種（５種類）で覆う
どちらかは解なし、どちらかは１１解。

テトロミノ全種で長方形（４×５）をつくることができれば、それを曲げることで円筒を覆うことが出来る。しかし、実際にはテトロミノ全種で長方形をつくることはできない。そのため長方形以外の形をつくって覆うことになる。実質は場合分けのある敷き詰めパズルであるので、紙面上で解けば混乱なく解ける。実際に手で解くと少し戸惑うが、それでも簡単である。

円筒に曲げるアイデアは、東洋グラスパズル「カットパイーン」でも見られることを思い出した。カットパイーンは有向性ペントミノ（ペントミノを一方向につぶした形）を円筒形に収めるパズルである。難易度は桁違いに高い。間の難易度のものがほしいものである。

～2017/5/5追記～

「カットパイーン」の易しい問題を作ってみた。有向性テトロミノを使い、ユニーク解になるようにデザインした。テトロミノ５ピースのみを使う場合、ほかにユニーク解になる駒組みはないと思われる。

ネコノテパズル（cat's paw puzzle）

Desiged by Puzzdog

課題　9ピースで正方形をつくってください。70解。うち正方形が中央に来るのは6解。

ピース構成は1個の正方形（白色）と、正方形を二分割し、それぞれ異なる形に再結合したもの（オレンジ色）。ただし、正方形の1辺同士をつなげた形（2種類）は除く。
このようなピース構成のコンセプトは主にキューブパズルで見られ、秋山久義氏の『キューブパズル読本』の『分割再結合キューブパズル』の章で多くの立体パズルが紹介されている。
平面パズルでこの種のパズルが少ないのは、立方体の多彩な分割再結合方法（ちなみに分割方法は合同２分割とは限らない）に比べると、正方形の分割再結合方法が乏しいからではないだろうか。そう考えると、ネコノテパズルのピース構成を見つけられたことは幸運なことかもしれない。

～2016/10/26追記～
2015年10月20日の葉樹林日記にて本パズルを紹介させていただいた。こちら
当時は文章もついていたのだが、今は画像のみの掲載になっている。

葉樹林日記は、自分がパズルにはまるきっかけのひとつであり、
一度は本店も訪れてみたいと思っていたが、昨年10月にやっと念願がかなった。
たくさんのパズルに囲まれてとても充実した時を過ごせたのはいうまでもない。