合同形のパズルのあれこれ（Puzzle to make congruent figures）

線対称形のパズル、相似形のパズルと続き、今回は合同形のパズルを整理してみた。

合同形のパズルは、線対称形や相似形よりも概念が直感的でわかりやすい。
そのためか、多くのパズルが考案されている。



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【合同形に分割】
与えられた１つの図形を分割して、指定された数の合同形にするパズルである。
「Ｌ型トロミノの合同4分割」などが有名である。
また、mathpuzzleのサイトでは、合同2分割、合同3分割、合同4分割ができる図形が紹介されている。
（こちら）
ただ合同分割ができるだけではなく、各分割の解にバラエティがある。

【並べて合同形】
各ピース群をそれぞれ組み合わせて、互いに合同形にするパズルである。
ポリオミノ系統では、「polyomino addition puzzles」（Erich Friedman, 2006）というサイトでたくさんの問題が紹介されている。
ポリアボロ系統では北沢氏の「生き物なーに？」という４ピースずつで合同形をつくるパズルがある。完成形が生き物になるというちょっとしたお楽しみがある。（解くうえでの手がかりにもなるかも）

ポリキューブ系統では、たとえば2013年のPuzzle Design Competitionにエントリーされている、「Convergent Evolution: D'Artagnan」（Bram Cohen and Wei-Hwa Huang）などがある。
似たような問題は結構作れるようだ。たとえば下の問題。

問題
「白のピース群と黒のピース群をそれぞれ組み合わせて、互いに合同な立体にしてください」

もしポリキューブの合同形問題をまとめている先駆者がいたら教えてください。

【並べて合同形（colored）】
各ピースが2色に分かれており、各色のカタマリを合同形にするパズルもある。
ポリオミノ系統では、北沢氏の「identica-L」などがある。
ポリキューブ系統では、植松氏の「3D-Twins」などがある。
いずれも日本のデザイナーであるが、海外においてはどうなのだろうか。

【並べて合同形（layered）】
各ピースが2層になっており、1層目と2層目を互いに合同形にするパズルもある。
koufuh氏の過去のサイトで紹介されていた「Duplex」などがある。
並べて合同形（colored）と並べて合同形（layered）は、ピースのつながりを意識しながら並べていく過程が楽しい。

【収めて合同形】
ピースと合わせて枠が用意されており、ピースを枠に収めたときの隙間が合同形になるようにする少し異質なパズルである。
2005年の葉樹林日記で紹介されている北沢氏の「池を作ろう」がこの系統である。
また、2014年のPuzzle Design Competitionで「Jury Honorable Mention」を受賞した「Copy Device」(Hiroshi Yamamoto)のような、単位の概念がないパズルも考案されている。

【折って合同形】
このコンセプトは過去にはないものと思われる。
各ピースを1回だけ折って、互いに合同形にするパズルである。

ペントミノの問題の中では、以下の3ピースのセットがオススメである。
3つのピースの形から名前は「M.V.P. （Most Valuable Pentomino） puzzle」、というのは大げさか。

問題１
「Ｍ型ペントミノとＶ型ペントミノをそれぞれ1回折って、互いに合同形にしてください。」

問題2
「V型ペントミノとP型ペントミノをそれぞれ1回折って、互いに合同形にしてください。」

問題3
「P型ペントミノとM型ペントミノをそれぞれ1回折って、互いに合同形にしてください。」

～2015/9/10追記～

もう１コンセプト、別のパズルを考えてみた。

【重ねて合同形】
平面の（厚さのない）各ピース群をそれぞれ重ね合わせて、互いに合同形にするパズルである。

問題
「以下の４つのペントミノを２つのグループにわけ、外形が互いに合同形になるようにピースを重ねてください。」

当然ほかのペントミノでも同様の問題はつくれるが、
ユニーク解であっても難易度が低い問題も結構つくれてしまう。
今回の問題は、（おそらく）ユニーク解であり、難易度も比較的高いほうだと思う。

※【重ねて合同形】の項目は、とある事情で一時期非表示にしていましたが、今はまた公開に戻しています。

～2017/1/29追記～

こんなパズルも見つけた。

【並べて合同2分割】

Vesa Timonen氏の「Cuttrick」というパズル↓

こちら

２ピースを並べて合同2分割が可能な図形をつくる（もちろん、どのように合同2分割されるかも考えないといけない）というかなりマニアックな出題。

自分も問題を作ってみたが、本家の問題より難易度や面白さは劣ると思う。

問題「以下の2ピースを重ねずに並べて、合同な図形に2分割できる図形をつくってください」

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これで図形パズルの整理もまずはひと段落である。